TT-5-206-14 DINAMIKAI RENDSZEREK

1. A tárgyprogram legutolsó módosításának kelte: 1997. október 2.
   
   
2. A tárgy felelõs tanszéke és oktatói:
   • Kémiai Fizika Tanszék,
     • Dr. Noszticzius Zoltán egyetemi tanár
     • Dr. Farkas Henrik egyetemi docens
       
       
3. Heti óraszám: 2 óra elõadás, követelmény: vizsga, nincs gyakorlati jegy, kredit érték: (2)
   
   
4. A tárgy helye a tantervben: 4b modul a vegyészmérnöki szakon
   
   
5. Kötelezõ elõzetes követelmény: Matematika II (TT-1-918), differenciál egyenletek.
   
   
6. Ajánlott elõzetes, vagy ajánlott együttes követelmény: Matematika III.
   
   
7. Átfedés más tárgyak programjával: nincs
   
   
8. Tantárgyi követelmények:
   
   Félévközi követelmény: Az órák látogatása (legalább 50 %-os részvétel az elõadásokon), a "Phaser" differenciálegyenlet-megoldó program kezelésének elsajátítása (a program a hálózatról lehívható), a félév végén 1 felmérõ zárthelyi megírása. Közepes, illetve ennél jobb eredmény esetén ez vizsgajegyként kerül megajánlásra.
   
   Vizsga: Az elméleti anyagot szóban, a feladatmegoldóképességet írásban kérjük számon. A vizsga írásbeli részén számítógép áll rendelkezésre a Phaser programmal.
   
   
9. Irodalom:
   • Dr. Bazsa György (szerk.) és szerzõtársai: "Nemlineáris dinamika és egzotikus kinetikai jelenségek kémiai rendszerekben" (Debrecen, Budapest 1992) egyetemi jegyzet egyes részei. (Ez a tanszékrõl kölcsönözhetõ a tanulmányok idejére.)
   • J.M.T. Thompson and H.B. Stewart: Nonlinear Dynamics and Chaos, Wiley 1986.
     
     
10. Részletes tárgyprogram:
    
    
    

• Bevezetés. Példák dinamikai rendszerekre. Kísérlet oszcillációs reakcióval. A dinamikai rendszerek osztályozása a rendszer fizikai természete szerint (fizikai, kémiai, biológiai, gazdasági stb.), a dinamikai viselkedés szerint (disszipatív, konzervatív, explozív) és a modell matematikai természete szerint (ODE, PDE, leképezések, sejtautomaták). Különféle dinamikai rendszerek és viselkedések illusztrációja videóval és számítógépes szimulációval.

  (2óra)
  

• A dinamikai rendszer fogalma. Determinisztikus rendszer. Szemi-dinamikai rendszer. Trajektória. Csoportsajátság. Stacionárius pont. Diszkrét és folytonos dinamikai rendszerek. Szabadsági fok. Véges és végtelen szabadsági fokú dinamikai rendszerek.

(2 óra)

• Dinamikai rendszerek kémiai példákon keresztül. A folyamatosan kevert tartályreaktor (CSTR), mint dinamikai rendszer. Sebességi egyenlet és tömeghatás törvény. Transzportegyenlet felírása a mérlegegyenlet és a sebességi egyenlet segítségével. Konzervatív oszcillációk a Lotka-Volterra rendszerben. Határciklusos oszcilláció és a Brüsszelátor modell. Egy valós modell: az Oregonátor. Kaotikus oszcilláció a meteorológiában: a Lorenz modell. Az elõadáson elhangzottakat számítógépes szimuláció illusztrálja.

7.-8. óra

• Differenciálható dinamikai rendszer, vektormezõ. Stacionárius pont stabilitása. Ljapunov stabilitás, aszimptotikus stabilitás, globális aszimptotikus stabilitás. Tetszõleges megoldás stabilitása. Alfa és omega határhalmaz. Periodikus megoldás. Periodikus megoldás orbitális stabilitása. Határciklus. Határciklus stabilitása. A Poincaré-Bendixson tétel. Ljapunov függvény. Attraktív halmaz. Medence. Attraktor. Attraktorok típusai: pont, periodikus, kváziperiodikus attraktor, különös attraktor. Káosz.

9.-10. óra

• Nemlineáris dinamikai rendszerek lokális stabilitásvizsgálata a stacionárius pont közelében. Linearizált rendszer. Jacobi-matrix. Karakterisztikus egyenlet, sajátérték, sajátvektor. Hiperbolikus stacionárius pont. Nyelõ, forrás, nyeregpont. Egydimenziós rendszerek stacionárius pontjai: stabil, instabil, degenerált.

11.-12. óra

• Kétdimenziós lineáris rendszerek stacionárius pontjai: nyereg, csomó, fókusz (izoláltak), nem izoláltak. A dinamikai viselkedés "trace-det térképe". Statikus és dinamikus instabilitás szemléltetése két elektromos töltés között szabályozottan rezgõ harmadik töltéssel.

13.-14. óra

• Számítógéppel illusztrált számítási gyakorlat kétdimeziós dinamikai rendszerek egyensúlyi pontjainak vizsgálatára. Stacionárius pontok három dimenzióban: attraktorok, nyeregpontok és repellorok. A nemlinearitás szerepe. Összehasonlítás a teljes nemlineáris Brüsszelátor modell viselkedése, valamint annak linearizált változatának a viselkedése között.

15.-16. óra

• Példa analitikusan számítható határciklusra. A paraméter hatása a dinamikai rendszer viselkedésére. Lineáris és nemlineáris modellek összehasonlítása. Hopf bifurkáció. Paraméteres dinamikai rendszer. A bifurkáció fogalma általában. Struktúrális stabilitás. Stacionárius pontok bifurkációi: nyereg-csomó (saddle-node), transzkritikus, vasvilla (pitchfork) és Hopf bifurkáció. Szuper- és szubkritikus Hopf bifurkáció.

17.-18. óra

• A Van der Pol oszcillátor. Fizikai megvalósítás: elektronikus RC oszcillátor alagút-diódával. Relaxációs oszcillációk a Van der Pol oszcillátorral. A degenerált rendszer trajektóriái. Határiklus bizonyítása a Van der Pol oszcillátorra a Poincaré-Bendixson tétellel (csak kvalitatívan). A Duffing oszcillátor (ha van rá idõ), kaotikus oszcillációk disszipatív mechanikai rendszerekben.

19.-20. óra

• Határciklus létrejöttéhez vezetõ bifurkációk. Lokális: Hopf. Globális: kettõs hurok (double-loop, jug handle), nyereg-csomó hurok (saddle-node loop, SNIPER), homoklinikus nyereg-hurok (saddle-loop) bifurkáció. Határciklusok további bifurkációi, a perióduskettõzõ és a Naimark-Sackers bifurkációk. Néhány számítógépes példa. Bifurkációs diagramok "olvasása" példákon keresztül.

21.-22. óra

• Ismétlés és feladatmegoldás a közönséges differenciálegyenletekkel megadható dinamikai rendszerek körébõl. Szorgalmi házifeladatok kiadása.

23.-24. óra

• Poincaré-metszet. Két példa: kényszerrezgés RL körben és "forced" Van der Pol oszcillátor. Lamerey diagram v. Lamerey lépcsõ. Leképezések.

25.-26. óra

• Egydimenziós leképezések. A differenciálegyenlet (flow) és a leképezés (map) összehasonlítása. A logisztikus leképezés. Egydimenziós leképezések bifurkációi: saddle-node, transcritical, pitchfork. A perióduskettõzõ bifurkációknak a káoszhoz vezetõ végtelen sorozata. Ljapunov exponens. Kaotikus viselkedés jellemzése.

27.-28. óra

• Ismétlés. Felkészülés a zárthelyi dolgozatra.

29.-30. óra

• Zárthelyi.